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  Gustavo Franco - Cristina Ochoviet
 Concebir y entender el infinito ha sido una tarea que ha ocupado a hombres y mujeres de todos los tiempos y que se refleja en diferentes aspectos de la creación humana como son la filosofía, la matemática y la literatura.
Hay dos concepciones del infinito en matemática, el infinito potencial y el infinito actual, que podrían estar emparentadas con el Devenir heraclitiano y con el Ser parmenídico.
Consideremos la sucesión de los números naturales: 0, 1, 2, 3… En ella no aparece ningún número que sea infinito, el infinito aparece como posibilidad: decimos que el conjunto de los números naturales es potencialmente infinito porque si pensamos en un número muy grande alcanza con sumarle una unidad para obtener otro aún mayor, y ese proceso se puede realizar indefinidamente. El infinito aparece entonces como posibilidad, esto es, en potencia.
Esta concepción es la que invade al matemático griego Euclides cuando postula en sus Elementos la posibilidad de prolongar una recta tanto como se quiera: el infinito se expresa, implícitamente, como la posibilidad de actuar sobre algo finito. Esta visión del infinito fue por mucho tiempo la única opción asequible para los seres humanos: nombrar el infinito a través de lo finito en un proceso de abstracción. El mundo que nos rodea es un mundo finito, y de lo infinito únicamente se habla a través de la imaginación.
Veamos ahora qué se entiende por infinito actual:
“Admitamos que se pueda definir el conjunto de los números naturales, y llamemos N a este conjunto (desprovisto de toda idea de orden). No tiene ningún sentido decir que los elementos de N “devienen”, o que “se hacen cada vez más grandes”. Están todos allí, simplemente, actualmente (en el sentido de acto y no en sentido temporal). Todos los conjuntos que estudia la matemática tienen existencia actual en este sentido; los conjuntos están dados, y con ellos la totalidad de sus elementos: no hay nada parecido a una evolución, a un devenir. […] el infinito potencial […] es una propiedad de un conjunto y un orden, el infinito actual […] es una propiedad de conjunto simplemente (con abstracción de todo orden)”. (Palacios y otros, 1995)
Las siguientes citas de José Mauro de Vasconcelos y de Jorge Luis Borges nos acercan, desde la literatura, a la idea del infinito potencial y del infinito actual.
El texto de Vasconcelos, lo hemos extraído de su novela Rosinha, mi canoa:
“[...] Metía la mano en la arena finita y se quedaba como cerniéndola. Sonrió; recordaba que de chico, cuando estudiaba en la ciudad, en los colegios de sacerdotes, el ejemplo que le dieron de la eternidad era: `Si un palomo, cada mil años, llegase a la tierra y se llevara un granito de arena cada vez, cuando se gastara la arena del mundo entero la eternidad aún estaría comenzando´”.
El texto de Borges es un fragmento del relato El Aleph:
“Aclaró que un Aleph es uno de los puntos del espacio que contiene todos los puntos. […]
–Sí, el lugar donde están, sin confundirse, todos los lugares del orbe, vistos desde todos los ángulos.”
Y más abajo continúa:
“Lo que vieron mis ojos fue simultáneo: lo que transcribiré, sucesivo, porque el lenguaje lo es. Algo, sin embargo, recogeré.
En la parte inferior del escalón, hacia la derecha, vi una pequeña esfera tornasolada, de casi intolerable fulgor. Al principio la creí giratoria; luego comprendí que ese movimiento era una ilusión producida por los vertiginosos espectáculos que encerraba. El diámetro del Aleph sería de dos o tres centímetros, pero el espacio cósmico estaba ahí, sin disminución de tamaño. Cada cosa (la luna del espejo, digamos) era infinitas cosas, porque yo claramente la veía desde todos los puntos del universo. Vi el populoso mar, vi el alba y la tarde, vi las muchedumbres de América, vi una plateada telaraña en el centro de una negra pirámide, vi un laberinto roto (era Londres), vi interminables ojos inmediatos escrutándose en mí como en un espejo, vi todos los espejos del planeta y ninguno me reflejó, vi en un traspatio de la calle Soler las mismas baldosas que hace treinta años vi en el zaguán de una casa en Fray Bentos, vi racimos, nieve, tabaco, vetas de metal, vapor de agua, vi convexos desiertos ecuatoriales y cada uno de los granos de arena […]”.
Lo visto por Borges en el Aleph fue simultáneo, que es la forma de concebir el infinito actual, pero el lenguaje, como nos lo anticipa el escritor, lo puede describir solamente de un modo sucesivo, que escapa a la esencia misma de esta concepción del infinito: lo sucesivo está vinculado con el infinito potencial. Aquí ambas ideas conviven, podríamos decir, haciendo un poco de literatura, que desde el infinito potencial (el lenguaje) se habla del infinito actual (el Aleph).
El Aleph es la materialización del infinito actual y de la eternidad platónica. (¿Será casualidad que Borges utiliza una esfera para representar el infinito actual, la misma metáfora que utiliza Parménides para describir el Ser?). Pero lo que el personaje Borges ve en el Aleph sólo puede ser concebido por dios, los seres humanos sólo percibimos, según Platón, una imagen móvil de la eternidad a la que llamamos tiempo:
“Pero sucedía que la naturaleza del Viviente era eterna y no se podía aplicarla plenamente a lo engendrado. Se le ocurrió entonces crear una imagen móvil de la eternidad; y, a la vez que organizaba cósmicamente el cielo, hizo de la eternidad que permanece en unidad una imagen perpetua que marcha de acuerdo a número, a la que hemos dado el nombre de `tiempo´”. Bibliografía
Borges, Jorge Luis. Obras Completas I. Buenos Aires: Emecé Editores, 2002.
Palacios, Alfredo; Barcia, Pedro; Bosch, Jorge; Otero, Néstor. Los matematicuentos. Presencia matemática en la literatura. Buenos Aires: Serie Eureka, 1995.
Platón. Timeo. Buenos Aires: Colihue Universidad, 1999.
Vasconcelos, José Mauro de. Rosinha, mi canoa. Buenos Aires: Editorial “El ateneo”, 1996. BIOGRAFÍAS |  | 
Gustavo Franco Gustavo Franco es profesor de Matemática egresado del Instituto de Profesores “Artigas”, Uruguay. Se desempeña como formador de maestros en los Institutos Normales y como profesor de enseñanza media. 
Cristina Ochoviet
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Cristina Ochoviet es profesora de Matemática egresada del Instituto de Profesores “Artigas”, Uruguay. Obtuvo el grado de Maestría en Ciencias en Matemática Educativa en el Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada del Instituto Politécnico Nacional, México. Se desempeña en la Dirección de Formación y Perfeccionamiento Docente y sus intereses en investigación son la enseñanza y el aprendizaje del álgebra en el nivel medio y la formación de profesores de matemática. |
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